Поиск по сайту
Наша география
Locations of visitors to this page
Авторизация
Логин:
Пароль:
Забыли свой пароль?

Зарегистрироваться
партнеры

Мультиразметки



07.01.2010

Мультиразметки

Математический взгляд

В методах треугольника и ромба треугольник и ромб соответственно разбиваются на много мелких треугольничков, из которых составляются шести- и пятиугольники. Для пятиугольников берутся пять треугольничков, являющихся вершинами больших треугольников или острыми вершинами ромбов соответственно. Для шестиугольников — по шесть треугольничков. По желанию можно комбинировать треугольнички и по-другому, но формулы и типичные названия мультиразметок основаны на подсчете пяти- и шестиугольников.

С точки зрения математики, метод утроения работает по- другому. В этом случае берется каждое пересечение (или вершина) нитей в центрах фигур, и нужно убедиться, что оно равномерно разделено на 12 частей (если только это не одно из базовых пересечений с 10 «лучами»). В то же время образуются новые пересечения 6 нитей в центре каждого треугольника. Эти пересечения станут вершинами шестиугольников в итоге разметки, а изначальные вершины — центрами шести- и пятиугольников. Таким образом, начальное число граней примерно утраивается.

Формула

Формула, используемая для вычисления числа граней во всех вышеприведенных таблицах основана на формуле Эйлера для числа ребер (E), граней (F) и вершин (V) многогранника: V + F E = 2. Ее довольно несложно вывести алгебраически, понимая, что именно мы считаем. Я не делаю этого здесь, но для любопытных помещаю pdf с полным выводом (в формате pdf из-за обилия математического форматирования). В таблице ниже резюмируются формулы для разметки на основе С10.

Формулы для мультиразметок, основанных на разметке С10

Метод треугольника
Метод ромба
На сколько делится сторона треугольника Граней Совершенных граней после метода утроения
На сколько делится сторона ромба Граней Совершенных граней после метода утроения
X (1/3) · 10X² + 2 10X² + 2 Y 10Y² + 2 30Y² + 2

Обратите внимание на 1/3 в формуле для числа граней по методу треугольника. Если использовать для разбиения число, не кратное 3, формула даст в ответе дробное число. Эта дробь указывает на треугольнички, остающиеся вне шестиугольников. В результате получится разметка, состоящая из сетки пятиугольников, шестиугольников и треугольников вместо сетки только из пяти- и шестиугольников. Хотя такая геометрия темари используется нечасто, с ней может быть интересно поиграть для достижения новых эстетических эффектов.

Если расширить таблицу, подставив числа вместо формул, можно увидеть любопытную закономерность. Числа в третьей колонке (число граней после применения метода утроения к разметке методом треугольника) совпадают с числами в колонке метода ромбов. Это работает и в обратную сторону: числа в последней колонке (граней после применения утроения к разметке ромбом) те же, что получаются при методе треугольника. Если внимательно посмотреть, где проходят линии на каждом шаге процесса утроения, можно заметить, что, по сути, они рисуют разметку ромбом поверх линий, полученных методом треугольника, и наоборот.

Пробелы в колонке метода треугольника тоже полезны. Хотя обычно числа, не кратные трем, там не используются, их можно скомбинировать с методом утроения, чтобы получить разметку с особенным числом совершенно разбитых граней. Например, если я хочу совершенную разметку на 162, я начну с метода треугольника, деля его сторону на 4, а затем применю к результату метод утроения.

Метод треугольника
Метод ромба
На сколько делится сторона треугольника Граней Совершенных граней после метода утроения
На сколько делится сторона ромба Граней Совершенных граней после метода утроения
1 12 1 12 32
2 42 2 42 122
3 32 92 3 92 272
4 162 4 162 482
5 252 5 252 752
6 122 362 6 362 1082
7 492 7 492 1472
8 642 8 642 1922
9 272 812 9 812 2432

Хотите больше чисел? Я создала таблицу с тридцатью строками, где число граней доходит до 27002 (после применения утроения). Она доступна в pdf, можете распечатать и использовать для справки.

Работает ли это только на разметке С10?

Нет! Описанные приемы и формулы основаны на геометрии треугольных граней икосаэдра и тесно связанного с ним ромбического тридцатигранника. Оба они представлены разметкой С10. Разметка С8 ближе к октаэдру и ромбическому двенадцатиграннику. (Больше информации о разметке, икосаэдре и октаэдре можно найти в статье “Platonic Solid Relationship study” — «Связь темари с Платоновыми телами», т.е. правильными многогранниками). Так что методы ромба, треугольника и утроения могут быть применены и к разметке С8. В итоговой геометрии вместо пятиугольников будут квадраты. Статья в «Edo Temari» содержит формулы для вычисления числа граней при разметке С8, близкие к приведенным выше для С10 (см. следующую таблицу). Их можно вывести сходным образом. Хотя я еще не вышила ни одного примера, чтобы поделиться им, они в моем списке планов, а возможно, будут выделены и в отдельное описание узоров. (На самом деле я только что обнаружила, что один из моих любимых узоров в списке «я должна когда-нибудь это попробовать» основан на мультиразметке утроением С8). Я создала pdf с таблицей для числа граней мультиразметки на основе С8, которую заинтересовавшиеся могут изучить.

Формулы для мультиразметок, основанных на разметке C8

Метод треугольника
Метод ромба
На сколько делится сторона треугольника Граней Совершенных граней после метода утроения
На сколько делится сторона ромба Граней Совершенных граней после метода утроения
X (1/3)x4X² + 2 4X² + 2 Y 4Y² + 2 12Y² + 2

Надо сказать, что метод утроения кажется почти универсальным. Потенциально он может быть использован на любой разметке, которая начинает с многоугольников, имеющих более трех сторон. Однако прежде чем я смогу сделать об этом какое-то конкретное заключение, нужны дополнительные исследования и несколько темари для образцов.

Я начала эту статью с обзора общих методов создания многополюсных темари. Если рассмотреть стоящую за ними математику, можно увидеть, что они не обязательно связаны с разметкой С10, хотя чаще всего применяются на ее основе. Использование этой математики в других местах открывает нам целое царство возможностей. Похоже, это исследование вечно будет в стадии «продолжение следует».


Страница 5 - 5 из 5
Начало | Пред. | 1 2 3 4 5 | След. | Конец Все

Автор:  Оригинал статьи: Дебора Эболт (Deborah Abolt) Публикуется с разрешения автора. Перевод Марии Фрид.

Возврат к списку



Fatal error: Call to a member function getLinks() on a non-object in /home/t/temariru/public_html/bitrix/templates/three_columns/footer.php on line 4