Поиск по сайту
Наша география
Locations of visitors to this page
Авторизация
Логин:
Пароль:
Забыли свой пароль?

Зарегистрироваться
партнеры

Мультиразметки



07.01.2010

Мультиразметки

Оригинал статьи: Дебора Эболт (Deborah Abolt) “What is so special about multi-faceted temari?”, http://temarimath.info. Публикуется с разрешения автора. Перевод Марии Фрид.

Что такого особенного в многогранных темари

Здесь изображены многогранные, или как их часто называют, многополюсные, темари. Они получаются на основе разметки С10, которая затем делится дальше, так что шарик оказывается расчерчен на маленькие шести- и пятиугольники. В некоторых случаях (как на второй фотографии), благодаря тщательному подбору цветов, сама разметка становится узором. За внешней красотой скрывается ужасное количество математики, хотя чтобы создавать такие шарики, знать ее не обязательно. Эта статья начинается с обзора основных методов создания многогранных разметок, затем переходит к одному открытому недавно, после чего рассматривается, что можно извлечь из приведенной математики для дизайнов, основанных на разметках других типов.

Кратко о терминологии. Такой тип темари раньше, как правило, называли мультиполюсным. Недавно у меня появилась возможность получить перевод страниц 70 и 71 японской книги «Edo Temari» (ISBN4-8377-0394-1), посвященных этой разметке, и там эти темари называли многогранными. Хотя оба термина обозначают одно и то же, акценты расставлены по-разному: термин «многогранный» подчеркивает идею шестиугольных и пятиугольных форм, которые сближают шар с многогранником, термин «многополюсный» указывает на центры этих многоугольников (математически это вершины в центре каждого шести- или пятиугольника, являющиеся для него центром вращения). По сути, термины взаимозаменяемы. Иногда я буду говорить просто «мультиразметка».

Некоторые способы разметки

Чаще всего используются два способа многогранной разметки, дающие несколько разные результаты с точки зрения геометрии шара и количества получаемых граней. В японских книгах они обычно представлены простыми геометрическими схемами.

Я пробовала вышивать это несколькими способами. В конечном счете неважно, как прокладывать стежки, если это удобно и линии получаются там, где надо. Здесь мы не будем обсуждать конкретные методы вышивки, но позже я либо добавлю исследование по данному вопросу, либо соберу страницу со ссылками.

Способ 1. Разбиение 6-секционного треугольника

Рис. 1. Метод треугольника

При этом способе стороны выделенного треугольника делятся на равные части. Треугольник в результате оказывается разбит на некоторое количество приблизительно равносторонних маленьких треугольничков. Большинство их комбинируется в шестиугольники многогранной разметки; треугольнички в вершинах складываются, образуя пятиугольники. Число частей, на которые делятся стороны треугольников, определяет количество граней и полюсов итоговой разметки. Для того чтобы получить пяти- и шестиугольники, обычно используемые в многогранной разметке, надо делить сторону на число, кратное трем, иначе получится не ожидаемая сетка из пяти- и шестиугольников, а некоторое количество маленьких треугольничков. (Подробнее об этом пойдет речь ниже — при обсуждении формулы.) При применении этого метода на С10 всегда получается 12 пятиугольников и какое-то количество шестиугольников. Следующая таблица показывает, сколько граней получится в зависимости от числа, на которое делятся стороны треугольника.

Сколько граней получится

На сколько частей делится сторона Число граней
3 32
6 122
9 272
12 482
15 752
18 1082

Как это выглядит

На фотографии слева исходная разметка С10 выполнена синими, а дополнительная — зелеными нитками. Разметку, сделанную методом треугольника, можно распознать по расположению трех вершин в центрах пятиугольников, где сходятся по 10 нитей: они являются углами треугольника (на фотографии он выделен желтым). Стоит найти их один раз, и станет видно, что все линии дополнительной разметки внутри треугольника параллельны его сторонам.

На правой фотографии обрисованы пяти- и шестиугольники, чтобы их было яснее видно. Пятиугольников всегда 12, число шестиугольников может быть разным. Маленькие пятиугольники ориентированы так, что их вершины смотрят друг на друга. В зависимости от числа отрезков, на которые делятся стороны треугольников, будет до трех типов шестиугольников: с шестью линиями, расходящимися от центра, с восемью и с двенадцатью.

Способ 1. Разбиение 4-секционного ромба

Рис. 2. Метод ромба

Для названия я выбрала слово «ромб», поскольку оно делает описание наиболее наглядным. В некоторых источниках это метод описывают через маленький треугольник — верхнюю половину ромба, но это создает опасность путаницы в терминах при описании геометрии итоговой разметки. При этом способе стороны закрашенного ромба делятся на равные части. Как и в предыдущем случае, в итоге получается много маленьких треугольничков, которые складываются в шести- и пятиугольники. Маленькие треугольники в верхних и нижних острых вершинах ромбов составляют пятиугольники. Число отрезков, на которое делятся стороны, определяет число получающихся в итоге граней или полюсов, но оно не то же самое, что при описанном выше методе треугольника. С методом треугольника общее то, что в итоге получается 12 пяти- и сколько-то шестиугольников, но, в отличие от него, стороны ромба можно делить на любое число отрезков, получая нарядную сетку шести- и пятиугольников.

Сколько граней получится

На сколько частей делится сторона Число граней
2 42
3 92
4 162
5 252
6 362
7 492

Как это выглядит

В этом примере исходная разметка С10 сделана красными нитками, а дополнительная — фиолетовыми. Простейший способ распознать разметку методом ромбов — снова найти треугольники с вершинами в центрах пятиугольников (обведен желтым на левой фотографии). Когда разметка сделана методом ромбов, дополнительные линии не параллельны сторонам этого треугольника. Напротив, если найти ромб с острыми вершинами в центрах пятиугольников (обведен зеленым), то внутри него видны линии, параллельные его сторонам.

12 пятиугольников ориентированы сторонами друг к другу. Шестиугольники здесь получаются двух типов: с шестью линиями, выходящими из центра, и с восемью.

«Новый» способ: утроение

Этот метод детально рассмотрен в японской книге «Edo Temari», стр. 70–71 (ISBN4-8377-0394-1). Автор (мастер Тошико Одзаки) назвал его методом утроения, поскольку в результате получается примерно в три раза больше граней, чем было в исходной разметке.

Зачем нужен третий метод

Первые два метода известны давным-давно и часто используются. Они хорошо работают, стоит один раз их освоить. Так зачем еще третий способ? Согласно статье в «Edo Temari» метод утроения был разработан, чтобы достичь безупречного разбиения шарика на шестиугольники. Но от него есть и другая польза. Во-первых, посмотрим на идею безупречного разбиения.

Рис. 3. Незавершенное разбиение шестиугольника

Рис. 4. Полное разбиение шестиугольника

При методах ромба и треугольника получаются шестиугольники, разрезанные неравномерно (рис. 3). У них имеется дополнительная линия, проходящая через центр и середины сторон. Теперь, если рассмотреть пятиугольники и треугольники на разметке С10, видно, что они делятся на 10 и 6 частей соответственно. Математически эти линии являются для фигур всеми возможными линиями отраженной симметрии. Если бы то же самое было верно для шестиугольников, они делились бы на 12 частей (рис. 4).

Метод утроения как раз и создает эти 12 частей для всех шестиугольных граней шарика, так что разметка получается более полной, совершенной и симметричной, чем другие. (Подставьте ваше любимое прилагательное… в переводе «Edo Temari» используется слово «совершенный».)

Это может показаться мелочью, но когда по таким шестиугольникам вышивается узор, чтобы получить ровную разбивку для вышивки, приходится игнорировать лишние линии, либо добавлять новые. А эти лишние линии становятся вполне явными, если посмотреть на общую разметку. Поскольку шестиугольники с дополнительной линией выстраиваются в ряд вдоль базовой разметки С10, последняя становится заметной под линиями многогранной разметки. Это создает проблемы, если сама разметка служит узором, поскольку нарушает ее равномерность. Чем больше граней, тем это больше бросается в глаза.

Эта фотография сделана черно-белой, чтобы лучше показать «призрачность» линий разметки С10. Большой мяч слева размечен методом ромба, мяч справа — методом треугольника. На обоих ясно видны линии разметки С10, более заметны они на шарике, размеченном методом треугольника.

Шарик на фото размечен методом утроения. Когда шестиугольники разбиты полностью, линии С10 оказываются надежно скрыты, а сама разметка становится равномерной на вид. Дополнительная польза: легче разглядеть отдельные шестиугольники, и как они складываются в мозаику.

Как и для других разметок, можно использовать любой способ прокладки стежков, лишь бы он давал нужные линии. Метод утроения — один из специфических способов упростить добавление этих линий. Как базовую можно использовать разметку С10, но, в отличие от других способов, можно начать и с другого числа граней, например с 42. Благодаря этому метод утроения можно применять последовательно несколько раз, получая большое количество граней. В результате выйдет примерно втрое больше граней, чем было, так что, если хочется получить конкретное их число в конце разметки, следует внимательно выбирать исходное. Довольно просто провести вокруг шарика ровные линии, достигая идеала темари, где разметка служит частью узора.

Как это сделать

Рис. 5. Метод утроения

Я опишу эту технику, взяв для примера основу с разметкой С10, но этот метод можно использовать на любой мультиразметке, получая различное число граней. Найдите пятиугольник, закрашенный на схеме, и красные линии, разделяющие его на треугольники. Надо проводить линии так, чтобы разделить каждый из этих треугольников на 6 частей, как показано синими линиями. Как и при других способах, можно последовательно размечать каждый треугольник или использовать более длинные стежки. Разметка будет выглядеть более гладкой, если делать стежки настолько длинными, насколько возможно. На основе разметки С10 получается 32- гранник с 12 пятиугольниками и 20 шестиугольниками.

Следующим шагом найдите треугольники в пятиугольниках и разбейте их точно таким же образом, как выше, на 6 треугольников. Аналогично найдите и расчертите треугольники в шестиугольниках. Проделав это, вы получите 92-гранную разметку (12 пятиугольников и 80 шестиугольников).

Рис. 6. Метод утроения в пятиугольнике

Рис. 7. Метод утроения в шестиугольнике

Можно продолжать и дальше, получая еще большее число граней. Например, из С10 таким образом получается 32 грани, из 32 — 92, а следующий шаг даст уже 272 грани. Если начинать не с С10, а с другой мультиразметки, число итоговых граней будет иным. Если надо получить очень большое число граней, можно повторять эти действия много раз. Есть техника смены цветов в каждом слое, позволяющая создавать узоры, состоящие только из разметочных линий. Они детально описаны в статье “Multiple of Three Pattern Investigation” («Исследование узоров, получаемых утроением»), там можно найти и подробные иллюстрации самого метода утроения. В приведенной ниже таблице показано соотношение итогового и стартового числа граней. Заметьте, что можно начинать с 42, получая 122, а при следующем шаге — 362, и так далее.

Сколько граней получится

Начальное количество граней Количество граней после разбивки
12 32
32 92
42 122
92 272
122 362
162 482

Математический взгляд

В методах треугольника и ромба треугольник и ромб соответственно разбиваются на много мелких треугольничков, из которых составляются шести- и пятиугольники. Для пятиугольников берутся пять треугольничков, являющихся вершинами больших треугольников или острыми вершинами ромбов соответственно. Для шестиугольников — по шесть треугольничков. По желанию можно комбинировать треугольнички и по-другому, но формулы и типичные названия мультиразметок основаны на подсчете пяти- и шестиугольников.

С точки зрения математики, метод утроения работает по- другому. В этом случае берется каждое пересечение (или вершина) нитей в центрах фигур, и нужно убедиться, что оно равномерно разделено на 12 частей (если только это не одно из базовых пересечений с 10 «лучами»). В то же время образуются новые пересечения 6 нитей в центре каждого треугольника. Эти пересечения станут вершинами шестиугольников в итоге разметки, а изначальные вершины — центрами шести- и пятиугольников. Таким образом, начальное число граней примерно утраивается.

Формула

Формула, используемая для вычисления числа граней во всех вышеприведенных таблицах основана на формуле Эйлера для числа ребер (E), граней (F) и вершин (V) многогранника: V + F E = 2. Ее довольно несложно вывести алгебраически, понимая, что именно мы считаем. Я не делаю этого здесь, но для любопытных помещаю pdf с полным выводом (в формате pdf из-за обилия математического форматирования). В таблице ниже резюмируются формулы для разметки на основе С10.

Формулы для мультиразметок, основанных на разметке С10

Метод треугольника
Метод ромба
На сколько делится сторона треугольника Граней Совершенных граней после метода утроения
На сколько делится сторона ромба Граней Совершенных граней после метода утроения
X (1/3) · 10X² + 2 10X² + 2 Y 10Y² + 2 30Y² + 2

Обратите внимание на 1/3 в формуле для числа граней по методу треугольника. Если использовать для разбиения число, не кратное 3, формула даст в ответе дробное число. Эта дробь указывает на треугольнички, остающиеся вне шестиугольников. В результате получится разметка, состоящая из сетки пятиугольников, шестиугольников и треугольников вместо сетки только из пяти- и шестиугольников. Хотя такая геометрия темари используется нечасто, с ней может быть интересно поиграть для достижения новых эстетических эффектов.

Если расширить таблицу, подставив числа вместо формул, можно увидеть любопытную закономерность. Числа в третьей колонке (число граней после применения метода утроения к разметке методом треугольника) совпадают с числами в колонке метода ромбов. Это работает и в обратную сторону: числа в последней колонке (граней после применения утроения к разметке ромбом) те же, что получаются при методе треугольника. Если внимательно посмотреть, где проходят линии на каждом шаге процесса утроения, можно заметить, что, по сути, они рисуют разметку ромбом поверх линий, полученных методом треугольника, и наоборот.

Пробелы в колонке метода треугольника тоже полезны. Хотя обычно числа, не кратные трем, там не используются, их можно скомбинировать с методом утроения, чтобы получить разметку с особенным числом совершенно разбитых граней. Например, если я хочу совершенную разметку на 162, я начну с метода треугольника, деля его сторону на 4, а затем применю к результату метод утроения.

Метод треугольника
Метод ромба
На сколько делится сторона треугольника Граней Совершенных граней после метода утроения
На сколько делится сторона ромба Граней Совершенных граней после метода утроения
1 12 1 12 32
2 42 2 42 122
3 32 92 3 92 272
4 162 4 162 482
5 252 5 252 752
6 122 362 6 362 1082
7 492 7 492 1472
8 642 8 642 1922
9 272 812 9 812 2432

Хотите больше чисел? Я создала таблицу с тридцатью строками, где число граней доходит до 27002 (после применения утроения). Она доступна в pdf, можете распечатать и использовать для справки.

Работает ли это только на разметке С10?

Нет! Описанные приемы и формулы основаны на геометрии треугольных граней икосаэдра и тесно связанного с ним ромбического тридцатигранника. Оба они представлены разметкой С10. Разметка С8 ближе к октаэдру и ромбическому двенадцатиграннику. (Больше информации о разметке, икосаэдре и октаэдре можно найти в статье “Platonic Solid Relationship study” — «Связь темари с Платоновыми телами», т.е. правильными многогранниками). Так что методы ромба, треугольника и утроения могут быть применены и к разметке С8. В итоговой геометрии вместо пятиугольников будут квадраты. Статья в «Edo Temari» содержит формулы для вычисления числа граней при разметке С8, близкие к приведенным выше для С10 (см. следующую таблицу). Их можно вывести сходным образом. Хотя я еще не вышила ни одного примера, чтобы поделиться им, они в моем списке планов, а возможно, будут выделены и в отдельное описание узоров. (На самом деле я только что обнаружила, что один из моих любимых узоров в списке «я должна когда-нибудь это попробовать» основан на мультиразметке утроением С8). Я создала pdf с таблицей для числа граней мультиразметки на основе С8, которую заинтересовавшиеся могут изучить.

Формулы для мультиразметок, основанных на разметке C8

Метод треугольника
Метод ромба
На сколько делится сторона треугольника Граней Совершенных граней после метода утроения
На сколько делится сторона ромба Граней Совершенных граней после метода утроения
X (1/3)x4X² + 2 4X² + 2 Y 4Y² + 2 12Y² + 2

Надо сказать, что метод утроения кажется почти универсальным. Потенциально он может быть использован на любой разметке, которая начинает с многоугольников, имеющих более трех сторон. Однако прежде чем я смогу сделать об этом какое-то конкретное заключение, нужны дополнительные исследования и несколько темари для образцов.

Я начала эту статью с обзора общих методов создания многополюсных темари. Если рассмотреть стоящую за ними математику, можно увидеть, что они не обязательно связаны с разметкой С10, хотя чаще всего применяются на ее основе. Использование этой математики в других местах открывает нам целое царство возможностей. Похоже, это исследование вечно будет в стадии «продолжение следует».


Страница 1 - 5 из 5
Начало | Пред. | 1 | След. | Конец По стр.

Автор:  Оригинал статьи: Дебора Эболт (Deborah Abolt) Публикуется с разрешения автора. Перевод Марии Фрид.

Возврат к списку



Fatal error: Call to a member function getLinks() on a non-object in /home/t/temariru/public_html/bitrix/templates/three_columns/footer.php on line 4